ЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТРОСА КОСМИЧЕСКОГО ЛИФТА

© А.Б.Нуралиева, Ю.А.Садов
© Государственный музей истории космонавтики им. К.Э. Циолковского, г. Калуга
Секция "К.Э. Циолковский и механика космического полета"
2013 г.

Сверхдлинный трос — основной элемент космического лифта. Рассмотрены линейные колебания относительно вертикального положения равновесия. Выписаны нелинейные уравнения движения гибкого, нерастяжимого, весомого, профилированного троса, прикрепленного нижним концом у экватора, под действием гравитационных и центробежных сил. Уравнения линеаризованы. Система распадается на две части, описывающие колебания в плоскости экватора и в перпендикулярной меридиональной плоскости. Исследование их сводится к решению неклассической задачи Штурма-Лиувилля со спектральным параметром в краевом условии.

Для экваториальной части решение такой задачи рассмотрено в работе Г.В. Калачева, А.Б. Нуралиева, А.В. Чернова (Малые колебания троса космического лифта. Труды МФТИ, 2013).Там же доказана счетность спектра и ортогональность собственных функций. Эти результаты применимы и к меридиональной задаче. Частоты меридиональной задачи отличаются от частот экваториальной на сдвиг, зависящий от частоты вращения Земли (это было отмечено в дипломной работе С.М. Кабанова). Описан способ нахождения собственных форм и частот, основанный на преобразовании уравнений, описывающих собственные формы, к полярным координатам. Это преобразование убирает спектральный параметр из краевых условий. Разработана асимптотическая методика нахождения характеристик мод высоких порядков.

Описанным выше методом вычислялись спектр и собственные функции. Результаты согласуются с работой P. Williams (Dynamic Multibody Modeling for Tethered Space Elevators, Acta Astronautica, Vol. 65, 2009, pp.399–422) в пределах расхождений из-за разницы параметров. Например, период колебаний нулевой моды в экваториальной плоскости составляет несколько суток, более высоких мод — меньше суток. В меридиональной плоскости периоды всех мод меньше суток. Впрочем, это согласуется и с расчетами по простейшим моделям.

Спектральные характеристики зависят от параметров. Главный параметр — длина троса. Второй — конечная масса или натяжение в точке привязки (последние два взаимосвязаны). Считалось, что есть равномерно распределенная вдоль троса дополнительная нагрузка (Садов Ю.А., Нуралиева А.Б. О концепции нагруженного секционированного космического лифта, Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2011 г., № 39. 24 с.), которая представляет собой третий параметр. Как и для ненагруженной модели, результаты сильнее всего зависят от длины троса.

Важной задачей для сверхдлинного (порядка 100000 км) троса является исследование относительно коротких (порядка 100 км) волн, которые может создавать работа лифта и которые сильно влияют на динамику троса и управление им. Прямым методом такие высокие моды посчитать сложно.

Поэтому был разработан асимптотический подход, основанный на решении краевой задачи с помощью усреднения.