ПОЛУАНАЛИТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ РАСЧЁТА СПЕКТРА ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ТРОСА КОСМИЧЕСКОГО ЛИФТА

© А.Б.Нуралиева, Ю.А.Садов
© Государственный музей истории космонавтики им. К.Э. Циолковского, г. Калуга
Секция "К.Э. Циолковский и механика космического полета"
2014 г.

Космический лифт — гипотетическая конструкция, которая упростила бы доступ в ближайший космос. Основной ее элемент — трос, протянутый с Земли, лучше с экватора, за геостационарную орбиту. Динамика такого протяжённого троса сильно влияет на работоспособность всей конструкции.

В работе рассматривается следующая модель: гибкий, весомый, нерастяжимый трос переменного сечения в гравитационно-центробежном поле. Приведены примеры движения, полученные численным моделированием. Уравнения движения линеаризованы. При этом они распадаются на экваториальную и меридиональную части, у которых есть частные решения — периодические поперечные колебания, характеризующиеся собственными частотами и формами. Общее решение задачи представимо комбинацией найденных собственных движений. При поиске собственных частот возникает неклассическая задача Штурма-Лиувилля с параметром в краевом условии. Решение этой задачи для экваториального случая через преобразование к полярным координатам предложил Г.В. Калачев. Собственные частоты и формы меридиональных колебаний находятся похожим образом. Приведены примеры движения, в том числе из начального положения, которое является комбинацией собственных форм.

Для вычисления собственной частоты надо вычислить все предыдущие, что при высоких модах неудобно, поэтому был разработан полуаналитический подход, основанный на решении краевой задачи с помощью усреднения. При этом собственные формы разбиваются на монотонную и ограниченную части. Для монотонной части получена аналитическая формула, ограниченная часть, которую нужно находить только на асимптотически малом конечном участке троса, вычисляется численно. Из-за особенностей задачи такой подход применим только для ненагруженного (т.е. без дополнительной нагрузки) троса. Для нагруженного троса получен алгоритм сведения решения к случаю ненагруженного троса. Приведены соответствующие примеры движения.